El análisis de componentes principales (PCA, por sus siglas en inglés) es una técnica estadística utilizada para reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos y extraer las características más importantes o "componentes principales" de los mismos.

El PCA se utiliza a menudo en tareas de minería de datos y visualización de datos para comprender mejor la estructura subyacente de los datos y para reducir la complejidad de los mismos. Por ejemplo, puede ser útil en la identificación de patrones y tendencias en grandes conjuntos de datos numéricos.

En resumen, el PCA es una herramienta útil para simplificar la representación de los datos y para concentrarse en las características más relevantes y significativas del mismo.

La idea detrás del PCA es pasar de un espacio $n$-dimensional a un espacio $m$-dimensional donde $n>m$ de manera que se consiga proyectar la mayor cantidad de información del espacio $n$ sobre el espacio $m$ es decir, conservar la mayor cantidad de información ó varianza de los datos.

Suponga que tenemos un dataset con $n$ variables aleatorias $$$X_1,X_2,...,X_n$ , cada una con varianza finita, entonces la matriz de covarianza $\Sigma$ es una matriz de dimensión $n$ x $n$ cuya entrada $(i,j)$ es la covarianza entre las variables $X_i$ y $X_j$ , es decir: $\Sigma_{ij}=Cov(X_i,X_j)$. Recuerde que:

$$ Var(X)= \frac1 n \displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x) $$

$$ Cov(X,Y) = \frac1 n \displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y) $$

Matriz de covarianza:

En el análisis de componentes principales (PCA), se busca reducir las variables que son altamente colineales, es decir, que tienen una correlación lineal fuerte entre ellas.

El objetivo principal del PCA es encontrar un nuevo conjunto de variables linealmente no correlacionadas, llamadas componentes principales, que pueden explicar la mayor cantidad de variabilidad en los datos originales. Estas componentes son combinaciones lineales de las variables originales y se ordenan en función de la cantidad de variabilidad explicada por cada una de ellas.